Alla scoperta del numero più strano

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Rifiutato dalla filosofia e dalla matematica per secoli, l’infinito è stato scoperto “tutto insieme” alla fine dell’Ottocento. Ecco la storia del pioniere che lo ha rivelato.

“Dio ha creato i numeri naturali: tutto il resto è opera dell’uomo”. Così il matematico Leopold Kronecker stroncò i tentativi di un suo contemporaneo di andare oltre i limiti del finito. Eppure, nonostante la teoria insiemistica usata da Cantor sia stata resa obsoleta dal paradosso di Russell, il suo studio sugli insiemi infiniti è una pietra miliare della ricerca matematica.

 

Un infinito, tanti infiniti

Che cos’è un insieme infinito? Un insieme con infiniti elementi, si potrebbe rispondere. Questa definizione è stata tacitamente accettata per secoli, immaginando che esistesse un solo infinito e, dunque, tutti gli insiemi infiniti fossero da considerare di cardinalità equivalente. Il tedesco Georg Cantor, verso la fine dell’Ottocento, portò questa visione semplicistica alla sua crisi definitiva.
La corrispondenza biunivoca è quella corrispondenza che associa ad ogni elemento di un insieme esattamente un elemento di un altro. In un certo modo, equivale a “contare” un insieme: la cardinalità, per gli insiemi finiti, è definita proprio tramite una corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri naturali. Negli insiemi infiniti, però, è stato fin da subito evidente che le cose andavano diversamente.
I numeri naturali sono infiniti. I numeri pari, che sono un sottoinsieme dei naturali, sono anch’essi infiniti. Esistono infiniti numeri naturali non pari: 1, 3, 5, 7, 9… Ma, allora, i numeri pari sono la metà dei numeri naturali? Non proprio. Esiste una semplice corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i numeri pari: basta prendere ogni numero naturale e raddoppiarlo. Così facendo, poiché ogni numero naturale ha uno ed un solo doppio e ogni numero pari ha una ed una sola metà, la corrispondenza ha le caratteristiche che cercavamo. Abbiamo “contato” i numeri pari: sono tanti quanti i naturali!
Questa proprietà paradossale è propria degli insiemi infiniti. Per questo, è stata proposta una definizione alternativa: un insieme è infinito se e solo se si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme.
Questo significa che tutti gli insiemi infiniti sono in corrispondenza tra loro? In fondo, esiste un solo infinito! Il genio di Cantor fu nello scoprire che non è così.
Innanzitutto, dimostrò che i numeri naturali, gli interi (positivi e negativi) e i razionali (l’insieme di tutte le frazioni, rapporto di numeri interi) sono in corrispondenza biunivoca tra loro. In altri termini, hanno la stessa cardinalità. Questo passaggio, per i razionali, non è esattamente banale: Cantor li mise prima in ordine, su una tabella, per poi individuare un percorso particolare che gli consentiva di “contarli” uno ad uno.
Il secondo passo è quello davvero importante. Con un metodo ingegnoso, Georg Cantor dimostrò un dato strabiliante: non esiste né può esistere una corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e numeri reali (ovvero tutti i numeri con qualsiasi estensione decimale, anche illimitata, anche non periodica). Questo era una rivoluzione nel senso più pieno del termine: i numeri reali sono infiniti, i numeri naturali sono infiniti, ma i numeri reali sono di più. Ancora più sorprendentemente, questo dimostra che i numeri irrazionali (i reali non razionali), che di solito sono difficili da trovare, sono in realtà molti di più dei razionali. Cantor chiamò la cardinalità dei razionali e degli interi cardinalità del numerabile e la cardinalità dei reali cardinalità del continuo.

 

Oltre… verso l’infinito

La rivoluzione di Cantor non era finita. Esistono solo due cardinalità di insiemi infiniti? La risposta di Cantor è no.
Egli costruì un metodo semplicissimo per generare cardinalità infinite sempre più grandi. Basta prendere un insieme e considerare il suo insieme potenza: l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme. Questo insieme potenza avrà cardinalità superiore a quella dell’insieme che lo ha generato. L’operazione, a questo punto, si può ripetere all’infinito.
Non solo l’infinito non è affatto unico, ma ne esistono infiniti. A questo punto, ci è lecito chiedere: infiniti… quanti?
Il problema, entrato a far parte dei Problemi di Hilbert, è rimasto per molto tempo una delle sfide più grandi della matematica. Recentemente è stato risolto in modo decisamente inaspettato: non è possibile dare una risposta. In altri termini, tutte le opzioni sono coerenti.
Esistono allora infinite matematiche, ognuna delle quali assume un numero diverso di infiniti.
Infinite… quante?

Davide Ferri

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